Algèbre linéaire Exemples

$| - 1 - 2 i |$

Étape 1

Utilisez la formule

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Étape 4

Additionnez

$1$ et

$4$ .

$\sqrt{5}$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

$| z |$ est le module et

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

$z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de

$a = \sqrt{5}$ et

$b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 8

Déterminez

$| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Étape 8.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Étape 8.3

Additionnez

$0$ et

$5$ .

$| z | = \sqrt{5}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\sqrt{5}})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de

$\frac{0}{\sqrt{5}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est

$0$ .

$θ = 0$

Étape 11

Remplacez les valeurs de

$θ = 0$ et

$| z | = \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} (\cos (0) + i \sin (0))$