Algèbre linéaire Exemples

$| - 1 - 2 i |$

Étape 1

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Étape 4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\sqrt{5}$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de $a = \sqrt{5}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 8

Déterminez $| z |$ .

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Étape 8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Étape 8.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$| z | = \sqrt{5}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\sqrt{5}})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{\sqrt{5}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0$ .

$θ = 0$

Étape 11

Remplacez les valeurs de $θ = 0$ et $| z | = \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} (\cos (0) + i \sin (0))$